盒子
盒子
文章目录
  1. 题目
  2. 题意
  3. 思路
  4. 代码

HDU 5072 Coprime(同色三角形模型+容斥)

题目

源地址:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5072

题意

给定n个数,求有多少对(a,b,c)满足两两互质或两两不互质。

思路

把三个数当做三角形的三个点,两个数之间的关系为边。互质为0,不互质为1.
则关系有(0,0,0),(1,1,1)是满足条件的。
如果a,b,c不符合条件,必然有一对互质,一对不互质,不妨设a,b互质,b,c不互质,于是我们可以枚举b来统计所有的三元组:如果a,c互质那么这样的三元组中b,c可以互换位置;如果a,c不互质,那么a,b可以互换位置。每个答案被算了两遍。
所以只要枚举每个b,统计出k个和它不互质的,那么剩下n-1-k个就是和它互质的,那么三元组就有k*(n-1-k)/2种。

如何计算所有数中与某一个数字不互质的个数。由于数字小于等于1e5(2357111317>10^5)所以质因子的个数不会超过6个。所以可以用二进制枚举每个数的质因子组合,如果某个数是其倍数,则一定不互质。用容斥原理来计算。

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define pb push_back
#define debug puts("=====================");
typedef long long ll;
using namespace std;
#define maxn 100000
int ans[maxn + 10], valid[maxn + 10], tot = 0;
void getPrime(int n, int &tot, int ans[]) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!valid[i]) ans[tot++] = i;
for (int j = 0; j < tot && i * ans[j] <= n; j++) {
valid[i * ans[j]] = 1;
if (i % ans[j] == 0) break;
}
}
}
int a[maxn + 10][6], b[maxn + 10][6], cnt[maxn + 10];
void factor(int n, int a[][6], int b[][6], int cnt[]) {
int tmp, now;
int &tot = cnt[n];
tot = 0;
now = n;
for (int i = 0; (ll)ans[i] * ans[i] <= now; i++) if (now % ans[i] == 0) {
a[n][tot] = ans[i], b[n][tot] = 0;
while(now % ans[i] == 0) {
b[n][tot]++;
now /= ans[i];
}
tot++;
}
if (now != 1) a[n][tot] = now, b[n][tot++] = 1;
}
void init() {
getPrime(maxn, tot, ans);
for (int i = 2; i <= maxn; i++) factor(i, a, b, cnt);
}
int s[maxn + 10], num[maxn + 10], n;
int main () {
init();
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--) {
scanf("%d", &n);
memset(s, 0, sizeof(s));
for (int i = 0; i < n; i++) {
scanf("%d", num + i);
int tot = 1 << cnt[num[i]];
for (int j = 0; j < tot; j++) {
int tmp = 1;
for (int k = 0; k < cnt[num[i]]; k++) if (j >> k & 1) {
tmp *= a[num[i]][k];
}
s[tmp]++;
}
}
ll ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int tot = 1 << cnt[num[i]];
ll res = n;
for (int j = 0; j < tot; j++) {
int tmp = 1, x = 0;
for (int k = 0; k < cnt[num[i]]; k++) if (j >> k & 1) {
tmp *= a[num[i]][k];
x++;
}
if (x % 2) res += s[tmp];
else res -= s[tmp];
}
if (res) ans += (res - 1) * (n - res);
}
ans = (ll)n * (n - 1) * (n - 2) / 6 - ans / 2;
printf("%I64d\n", ans);
}
return 0;
}